☛ Étudier la coplanarité de quatre points

Énoncé

Dans un repère \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) de l'espace, on donne les points \(\text A(2~;~1~;~4)\) , \(\text B(4~;−1~;~0)\) , \(\text C(0~;~3~;~2)\) et \(\text D(4~;~3~;−2)\) . Les points   \(\mathrm{A}\) , \(\mathrm{B}\) , \(\mathrm{C}\)  et  \(\mathrm{D}\) sont-ils coplanaires ?

Solution

On étudie la coplanarité des vecteurs  \(\overrightarrow{\text A\text B}\begin{pmatrix} 2 \\-2\\ -4\\\end{pmatrix}\) ,  \(\overrightarrow{\text A\text C}\begin{pmatrix} -2 \\2\\ -2\\\end{pmatrix}\)  et  \(\overrightarrow{\text A\text D}\begin{pmatrix} 2 \\2\\ -6\\\end{pmatrix}\) .
Les vecteurs  \(\mathrm{\overrightarrow{AC}}\)  et  \(\mathrm{\overrightarrow{AD}}\) ne sont pas colinéaires.
On cherche les réels \(a\)  et  \(b\) tels que :  \(\overrightarrow{\text A\text B}=a\overrightarrow{\text A\text C}+b\overrightarrow{\text A\text D}\) ce qui équivaut au système :  \(\begin{cases} 2=-2a+2b\\ -2=2a+2b\\-4=-2a-6b \end{cases}\) soit \(\begin{cases} 1=-a+b\\ -1=a+b\\-2=-a-3b \end{cases}\) .
On résout le système partiel formé par les deux premières équations :  \(\begin{cases} 1=-a+b\\ -1=a+b\\ \end{cases}\) .
En ajoutant membre à membre les deux équations, on obtient :  \(2b=0\) soit \(b=0\) .
On remplace cette valeur de \(b\) dans l'une des deux équations et on trouve :  \(a=-1\) .
On remplace les deux valeurs trouvées dans la troisième équation, on obtient :  \(-a-3b =-(-1)-3\times 0=1 \neq -2\) .
Conclusion : les valeurs trouvées de  \(a\) et  \(b\) ne conviennent pas. Le système n'admet pas de couple solution, alors les vecteurs  \(\mathrm{\overrightarrow{AB}}\) ,  \(\mathrm{\overrightarrow{AC}}\)  et  \(\mathrm{\overrightarrow{AD}}\) ne sont pas coplanaires.
Les points   \(\mathrm{A}\) , \(\mathrm{B}\) , \(\mathrm{C}\)  et  \(\mathrm{D}\) ne sont donc pas coplanaires.